좌변을 완전제곱식으로 표현할 수 있다. ( 완전제곱식으로 표현하기 위해 (b/(2a))^2를 더했다 ) 

( x + b/(2a) )^2 = (b/(2a))^2 - c/a = (b^2 - 4ac) / (4a^2)

좌변의 루트를 풀면 

x + b/(2a) = ±((b^2 - 4ac) / (4a^2))^(1/2)

따라서,

x = -(b/(2a))±((b^2 - 4ac) / (4a^2))^(1/2) 

이를 정리하면, 아래와 같이 x의 값을 구할 수 있다. 

x = (-b±(b^2 - 4ac)^(1/2)) / (2a)

이때, D = (b^2 - 4ac) 라 하면, (보통 D를 판별식이라 한다.),

D > 0 이면 x는 두개의 해를 가지며

D = 0 이면 x는 하나의 해를 갖는다.

D < 0 이면 x는 해를 가지지 않는다.(허근)


이차함수 일반형 ( y = ax^2 + bx + c, a≠0 )에 대하여, 

x축과의 교점인 해( y=0인 경우 )는 위와 동일한 방법으로 구할 수 있고,

a > 0 이면 아래로 볼록한 포물선 형태의 그래프가 되어 최소값을 가지며, 

a < 0 위로 볼록한 포물선 형태의 그래프가 되어 최대값을 갖는다.


이차함수 y 값은 x 값에 따라 다음과 같이 계산되며, 

판별식 D는 아래와 같고,

D >= 0 인 경우 해 x1, x2는 각각 다음과 같다.

또한, 완전제곱식 형태로 정리하면

y = a(x+b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a) 이므로, 

꼭지점의 좌표는

xp = -b/(2a), yq = - (b^2 - 4ac)/(4a) 가 된다.