1st Step for All

Science: 천문학 Astronomy; 생물학 Biology; 화학 Chemistry; 지질학 Geology; 수학 Mathematics; 물리 Physics

Engineering: 항공우주 Aerospace; 농업 Agriculture; 생물 Biological; 화학 Chemical; 토목공학 Civil; 전기공학 Electrical; 환경 Environmental; 산업 Industrial; 해양 Marine; 재료 Materials; 기계 Mechanical; 원자력 Nuclear

Architecture: 건축 Architecture

Health: 건강보건 Health

ETC: 기타 ETC

현재 위치

정육면체를 맞모금(대각선)으로 회전시킨 회전체의 부피(체적)

작성자 Uploader : 처음처럼 작성일 Upload Date: 2017-05-05변경일 Update Date: 2021-01-02조회수 View : 3102

한변의 길이가 a인 정육면체를 맞모금(대각선)으로 회전시킨 회전체의 부피(체적)

선분 AG를 x 축으로 하면, AG 길이는 3^(1/2)*a가 된다.

회전체는 AG/2을 기준으로 대칭을 이루므로 AG/2까지 적분하여 2를 곱한다.

AG/3까지는 단면이 정삼각형이고, AG/3 ∼ AG/2까지는 단면이 육각형이므로 구간을 나누어 적분한다.

회전체의 부피는 단면적 π*r^2을 적분하여 구하므로 r을 x에 대한 함수로 나타낸 후 구간에 대해 적분한다.

□ 0 ~ AG/3 구간 (0 <= x <= (1/3)^(1/2)*a)

정삼각형 단면이 생기는 구간으로 정삼각형의 중선의 길이 * 2/3가 가장 큰 원을 만든다.

한변의 길이가 a인 정삼각형의 중심에서 꼭지점까지의 거리는 (3^(1/2))/2 * (2/3) * a = (1/3)^(1/2) * a 이고,

x=(1/3)^(1/2)*a 에서, r은 한변의 길이가 2^(1/2)*a인 정삼각형의 중심에서 꼭지점까지의 거리가 되므로,

r= (1/3)^(1/2) * 2^(1/2)*a = (2/3)^(1/2) * a 가 된다.

비례식으로 x와 r의 관계식을 만들면,

r/x = 2^(1/2), 따라서 r = 2^(1/2) * x 가 된다.

이를 적분하면,

V1 = π∫2*x^2 dx = 2π*(1/3)*x^3, (x=0 ~ x=(1/3)^(1/2)*a)

V1 = 2πa^3 / (9*3^(1/2))

□ AG/3 ~ AG/2 구간 ((1/3)^(1/2)*a <= x <= 3^(1/2)*a/2 )

육각형 단면이 생기는 구간으로 점 B는 점 I로 이동한다.

선분 IJ의 길이는 (1/2)^(1/2) * a로 일정하며, h를 x의 함수로 표현하면 r 을 구할 수 있다.

x=(1/3)^(1/2)*a 에서 h=BJ/2 =(1/6)^(1/2)*a 이고 x=(3^(1/2))/2에서 h=0 이 되므로,

h = -(2)^(1/2)*x + (3/2)^(1/2)*a 가 된다.

r^2 = (1/2)*a^2 + 2*x^2 - 2*3^(1/2)*a*x + (3/2)*a^2 = 2*( x^2 - 3^(1/2)*a*x + a^2)

이를 적분하면,

V2 = π∫2*( x^2 - 3^(1/2)*a*x + a^2) dx
= 2π*((1/3)*x^3 - (1/2)*3^(1/2)*a*x^2 + a^2*x), (x=(1/3)^(1/2)*a ~ x=3^(1/2)*a/2)

V2 = 2π*a^3 { ( 3^(1/2) / 8 - 3*3^(1/2) / 8 + 4 / 8 )
- ( 1 / (9*3^(1/2)) - 3^(1/3) / 6 + 1 / 3^(1/2) ) }
= 2π*a^3 { 3^(1/2) / 4 - (2-9+18) / (18*3^(1/2)) }
= 2π*a^3 ( (9*3 - 22) / (36*3^(1/2)) )
= 2π*a^3 * 5 / (36*3^(1/2))

□ 2*(V1+V2)

V = 2*(V1+V2) = 4π*a^3*( 1/(9*3^(1/2)) + 5 / (36*3^(1/2)) )
= 4π*a^3*(4+5) / (36*3^(1/2))
= π*a^3 / 3^(1/2)

*** 참고문헌[References] ***

V = π*a^3 / 3^(1/2)


변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

※ 이 사이트는 광고수익으로 운영됩니다.

★ 로그인 후 수식작성 및 즐겨찾기에 추가할 수 있습니다.
★ To make new formula or to add this formula in your bookmark, log on please.

1st Step for All

현재 위치

정육면체를 맞모금(대각선)으로 회전시킨 회전체의 부피(체적)

코멘트