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정삼각형의 세 변위에 있는 세 점을 이은 삼각형의 최소 둘레 길이

작성자 Uploader : 밍기적 작성일 Upload Date: 2018-10-13변경일 Update Date: 2018-10-13조회수 View : 1040

Type1 Type2

그림과 같이 한 변의 길이가 L 인 정삼각형의 각 변에 세 점 P, Q, R 이 있을 때, 이 세 점을 이은 ΔPQR의 최소둘레 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

ΔABC 를 변 AC 를 기준으로 대칭이동을 하고 다시 변 BC 를 기준으로 대칭이동을 하면, 그림의 하단에 표시한 그림과 같다. 여기서 선분 PP 가 최소가 되면, ΔPQR의 둘레길이가 최소가 된다.

점 P 가 점 A 에서 임의의 길이 d 만큼 떨어져 있을 때, 선분 PP의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

A 에서 P 까지의 수직 길이를 h 라 하면 h = (3/4)^(1/2)d 이 되고, 이는 우측 하단에서 위로 올라온 수직 길이와 같으므로, 선분 PP를 빗변으로 하는 직각삼각형의 높이는 아래와 같다.

H-2h = H-(3)^(1/2)d = (3/4)^(1/2)L-(3)^(1/2)d

또한, 직각삼각형의 밑변의 길이는 아래와 같다.

2L-e-f = 2L-(L-d)/2-d/2 = 2L-L/2 = (3/2)L

따라서, 선분 PP 의 길이는 다음과 같다.

PP = (((3/4)^(1/2)L-(3)^(1/2)d)^2 + ((3/2)L)^2)^(1/2)
= ((3/4)L^2 - 3dL + 3d^2 + (9/4)L^2)^(1/2)
= (1/2)(12L^2 -12dL + 12d^2)^(1/2)
= (3)^(1/2) (L^2 - dL + d^2)^(1/2)

L 을 상수로 가정하면, L^2 - dL + d^2 는 d = L/2 에서 최소값을 갖는다.

이를 대입하면, ΔPQR의 최소 둘레길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

PP = (3)^(1/2) (L^2 - L^2/2 + L^2/4)^(1/2)
= (3/2)L

이는 정삼각형의 각 변의 이등분선을 이은 정삼각형이 된다.

■ ΔPQR의 최소 둘레길이

■ d 가 주어졌을 경우에 ΔPQR의 최소 둘레길이

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