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도심(Centroid), y = ax^n 과 y 축으로 둘러싸인 면적, x 방향 거리

작성자 Uploader : 연구대상 작성일 Upload Date: 2018-12-15변경일 Update Date: 2019-10-22조회수 View : 546

그림과 같이 y=ax^n 과 y 축으로 둘러싸인 면적의 x 방향 도심거리Gx 는 다음과 같이 구할 수 있다.

Gx = My / A

My : y 축을 기준의 단면 1차 모멘트
A : 면적

My = ∫ (y1-y)*x dx = ∫ a(x1^n - x^n)*x dx

= a ∫ x1^n*x - x^(n+1) dx

= a(x1^n*(1/2)*x^2 - (1/(n+2))*x^(n+2))

x = x1 이므로,

My = a((1/2)*x1^(n+2) - (1/(n+2))*x1^(n+2))

= a*((1/2)-(1/(n+2)))*x1^(n+2)

= a*n/(2(n+2))*x1^(n+2)

먼저 x 축 사이의 면적을 구하고,

Ax = ∫ y dx = ∫ a*x^n dx = (a/(n+1))*x^(n+1)

0~x1 까지의 면적은,

Ax = (a/(n+1))*x1^(n+1)

이를 x1*y1 에서 뺀다.

A = x1*y1 - Ax = x1*y1 - (a/(n+1))*x1^(n+1)

y1 = ax1^n 이므로,

A = ax1^(n+1) - (a/(n+1))*x1^(n+1)

= a*(1-1/(n+1))*x1^(n+1)

= a*(n/(n+1))*x1^(n+1)

Gx = a*(n/(2(n+2)))*x1^(n+2) / (a*(n/(n+1))*x1^(n+1))

= 1/(2(n+2)))*x1 / (1/(n+1)))

= ((n+1)/(2(n+2)))*x1

*** 참고문헌[References] ***

Gx = x1*(n+1)/(2*n+4)


변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

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