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일정한 표면적으로 만들 수 있는 실린더(원기둥)의 최대 부피

작성자 Uploader : alice 작성일 Upload Date: 2019-01-02변경일 Update Date: 2019-01-02조회수 View : 510

Type1 Type2

실린더의 표면적을 S, 부피를 V 라하고, 실린더 원의 직경을 D, 실린더의 높이를 H라 하면 다음과 같은 관계식을 만들 수 있다.

S = 2*(π/4)*D^2 + π*D*H

V = (π/4)*D^2*H

S가 상수이므로 이를 정리하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

H = S/(π*D) - (D/2)

H를 V 식에 대입하면, 다음과 같다.

V = (π/4)*D^2*(S/(π*D) - (D/2))

= (S/4)*D - (π/8)*D^3

이를 D에 대해 미분하여 최대값을 구한다.

S/4 - (3*π/8)*D^2 = 0

따라서, 체적의 최대값은 다음과 같다.

한편, No.1 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

S = (3/2)*D^2*π

이를 표면적 식에 대입하여 풀면,

(3/2)*D^2*π = 2*(π/4)*D^2 + π*D*H

D^2 = D*H

D = H 가 됨을 알 수 있다.

즉, 직경과 높이가 같을 때, 실린더의 부피가 최대가 된다.

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