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이항정리, (aX+bY)^n 을 전개할 때, 계수의 크기가 가장 큰 지수값 구하기

작성자 Uploader : anyway 작성일 Upload Date: 2019-08-19변경일 Update Date: 2019-10-21조회수 View : 454

(aX+bY)^n 을 전개하여 X^(k)*Y^(n-k) 의 계수가 가장 클 때, k 값 구하기

a ≥ 1 이고 b ≥ 1 이고 n ≥ 1 큰 자연수 일 때,

X^(k)*Y^(n-k) 의 계수는 다음과 같다.

nCk*a^(k)*b^(n-k)

이 계수는 k 증가함에 따라 증가하다가 최고값을 나타낸 후 감소한다.

r = k+1 이라하고 다음 항의 계수를 구하면

nCr*a^(r)*b^(n-r)

이 되고 두 항중 먼저 항이 크거나 같으므로,

nCk*a^k*b^(n-k) ≥ nCr+1*a^(r)*b*(n-r)

a^k*b^(n-k) (> 0) 로 나누면,

nCk ≥ nCr*a/b

nCk/nCr ≥ a/b

(n!/((n-k)!*k!))/(n!/((n-r)!*r!)) ≥ a/b

((n-r)!*r!)/((n-k)!*k!)) ≥ a/b

r = k+1 이므로,

((n-k-1)!*(k+1)!)/((n-k)!*k!)) ≥ a/b

(k+1)/(n-k) ≥ a/b

k+1 ≥ (a/b)*n - (a/b)*K

(1+a/b)*k ≥ (a/b)*n -1

k ≥ ((a/b)*n-1)/(1+a/b)

Res = ((a/b)*n-1)/(1+a/b) 이 되고 k ≥ Res 인 자연수가 된다.

*** 참고문헌[References] ***
Res = ((a/b)*n-1)/(1+a/b)
변수명 Variable 변수값 Value 변 수 설 명 Description of the variable


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