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회전하는 원통내의 수면형

작성자 Uploader : a.c.e. 작성일 Upload Date: 2019-10-12변경일 Update Date: 2023-07-06조회수 View : 79

반지름이 R (m)인 원통이 각속도 ω (rad/s) 로 회전하고 있을 때, 회전 중심으로부터 x 만큼 떨어진 위치에서의 수면 기울기는 다음과 같다.

회전 가속도 : a = ω^2*x
중력 가속도 : g
수면 기울기 : tanθ = ω^2*x/g

tanθ = dy/dx = ω^2*x/g 이므로

dy = ω^2*x/g * dx

∫ dy = ∫ ω^2*x/g * dx

y = (1/2)(ω^2/g)*x^2 + C

가 된다. C = 0 인 경우는 중심에서 수면이 바닥에 닿을 때 이다.

C = H0 이므로, 중심에서 x 만큼 떨어진 위치에서의 수면 높이 y 는 다음과 같다.

y = (1/2)(ω^2/g)*x^2 + H0

x = R 일 때, y = HR 이 되고, HR = (1/2)(ω^2/g)*R^2 + H0 이다.

정수시와 회전시의 부피는 동일 하므로,

πR^2*H = πR^2*HR - V

가 된다. V 는 여기서 수면형 윗 부분의 부피이다.

수면형을 y 축으로 회전시킨 회전체의 체적을 구한다.

x^2 = (2g/ω^2)(y-H0)

이므로, H0 ≤ y ≤ HR 구간에서 적분한다.

V = ∫ πx^2 dy = π(2g/ω^2) ∫ (y-H0) dy

= π(2g/ω^2)[(1/2)y^2 - H0*y]

= π(2g/ω^2)((1/2)(HR^2-H0^2) - H0*(HR-H0))

= π(g/ω^2)(HR-H0)^2

따라서,

πR^2*H = πR^2*HR - π(g/ω^2)(HR-H0)^2

HR = (1/2)(ω^2/g)*R^2 + H0 를 대입하여 정리하면,

R^2*H = R^2*((1/2)(ω^2/g)*R^2 + H0) - (g/ω^2)((1/2)(ω^2/g)*R^2)^2

H = (1/2)(ω^2/g)*R^2 + H0 - (1/4)(ω^2/g)*R^2

H0 = H - (1/4)(ω^2/g)R^2

이 되고, 최종적으로 수면형은,

y = (1/2)(ω^2/g)*x^2 + H - (1/4)(ω^2/g)R^2

= (1/2)(ω^2/g)*(x^2 - (1/2)R^2) + H

이 된다.

*** 참고문헌[References] ***

y = (1/2)*(ω^2/g)*(x^2 - (1/2)*R^2) + H


변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

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