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a/x + b/y = 1 일 때, x + y 의 최소값 구하기

작성자 Uploader : chocopi 작성일 Upload Date: 2019-11-10변경일 Update Date: 2023-09-09조회수 View : 373

두 양의 실수 x, y 에 대해, a/x + b/y = 1 일 때, x + y 의 최소값 구하기

x+y = k 라 하고, a/x + b/y = 1 을 양변에 곱해주면,

(a/x + b/y)(x+y) = k

이 된다. 이를 전개하면,

a + a*y/x + b*x/y + b = k

(a+b)+a*y/x+b*x/y = k

이 된다.

산술평균과 기하평균의 관계를 이용하면,

(a*y/x)+(b*x/y) ≥ 2*((a*y/x)*(b*x/y))^(1/2) = 2*(a*b)^(1/2)

이므로,

k ≥ (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

가 된다.

최소값 kmin 은

kmin = (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

이다.

*** 참고문헌[References] ***

kmin = (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

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변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

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