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When a/x + b/y = 1, find the minimum value of x + y

작성자 Uploader : chocopi 작성일 Upload Date: 2019-11-19변경일 Update Date: 2023-09-09조회수 View : 51

For two positive real numbers x and y, when a/x + b/y = 1, find the minimum value of x + y.

Let x+y = k, and multiply both sides by (a/x + b/y) = 1,

(a/x + b/y)(x+y) = k

If we expand this,

a + a*y/x + b*x/y + b = k

(a+b)+a*y/x+b*x/y = k

Using the relationship between arithmetic mean and geometric mean,

(a*y/x)+(b*x/y) ≥ 2*((a*y/x)*(b*x/y))^(1/2) = 2*(a*b)^(1/2)

thus,

k ≥ (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

and

minimum value kmin is

kmin = (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

*** 참고문헌[References] ***

kmin = (a+b)+2*(a*b)^(1/2)

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변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

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