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모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 최대 부피(체적)

작성자 Uploader : 적당히 작성일 Upload Date: 2019-11-30변경일 Update Date: 2019-11-30조회수 View : 1092

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 a 인 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 최대 부피를 구한다.

사각뿔의 높이 h 는 다음과 같다.

h = (a^2 - a^2/2)^(1/2) = a*(1/2)^(1/2)

그림에서,

a : a(1/2)^(1/2) = a-x : y

a(a-x) = ay(1/2)^(1/2)

a-x = y(1/2)^(1/2)

y = (a-x)2^(1/2)

가 된다.

직육면체의 부피는

V = x^2*y

= x^2*(a-x)2^(1/2)

= (ax^2 - x^3)2^(1/2)

이고, ax^2 - x^3 이 최대일 때 부피가 최대가 되므로, x 에 대해 미분하면,

2ax - 3x^2 = x(2a - 3x) = 0

0 < x < a 이므로, x = (2/3)a 가 된다.

Vmax = (4/9)a^2*(1/3)a*2^(1/2)

= ((2*2^(1/2))/27)*a^3

*** 참고문헌[References] ***

Vmax = ((2*2^(1/2))/27)*a^3


변수명 Variable	변수값 Value	변 수 설 명 Description of the variable

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