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건축 Architecture


정사면체 내부의 삼각기둥의 최대 부피(체적)

작성자 Uploader : 적당히 작성일 Upload Date: 2019-12-01변경일 Update Date: 2019-12-01조회수 View : 78

한 변의 길이가 a 인 정사면체 내에 그림과 같이 삼각기둥이 있을 때, 삼각기둥의 최대 부피를 구한다.

꼭지점 A 에서 모서리를 따라 x 만큼 떨어진 위치에 생기는 삼각형은 한 변의 길이가 x 인 정삼각형이므로, 삼각기둥의 높이를 y 라하면, 부피는 다음과 같다.

V = x*(x/4)*3^(1/2)*y

정사면체의 높이를 h 라 하면 다음과 같은 비례식이 성립한다.

a : h = a-x : y

따라서,

ay = h(a-x)

y = h(1-x/a)

V = x*(x/4)*3^(1/2)*h(1-x/a)

 = (3^(1/2)/4)*h*(x^2-(1/a)x^3)

가 되며, (x^2-(1/a)x^3) 이 최대가 될 때 부피가 최대가 되므로, x 에 대해 미분하면,

2x - (3/a)x^2 = 0

x(2-(3/a)x) = 0

이 되고 0 < x < a 이므로, x = 2a/3 일 때 부피가 최대가 된다.

Vmax = (3^(1/2)/4)*h*((4/9)a^2-(8/27)a^2)

        = (3^(1/2)/4)*h*(4/27)a^3

한편, 정사면체의 높이 h 는

h = (a^2 - (a^2/9)(3))^(1/2) = (2/3)^(1/2)a

이므로 이를 대입하면,

Vmax = (2^(1/2)/27)a^3

이 된다.


*** 참고문헌[References] ***

Vmax = (2^(1/2)/27)*a^3
변수명 Variable 변수값 Value 변 수 설 명 Description of the variable




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