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구에 원뿔이 접했을 때의 부피(체적)

작성자 Uploader : chocopi 작성일 Upload Date: 2021-01-02변경일 Update Date: 2021-01-02조회수 View : 39

반지름이 r 인 구에 밑면원의 반지름이 rc, 높이가 hc 인 원뿔이 그림과 같이 붙어 있을 때, 전체 부피를 구한다.

구와 원뿔이 만나는 부분에서 원뿔의 면이 구의 중심과 이루는 각이 구의 접선 보다 크거나 같아야 한다. 즉, hm ≤ hc 이다.

구의 부피

Vs = (4/3)*π*r^3

원뿔의 부피

Vc = (1/3)π*hc*r^2

구와 원뿔이 중복된 깊이

h = r - (r^2 - rc^2)^(1/2)

구와 원뿔이 중복된 부분의 부피, t = (r^2 - rc^2)^(1/2) 라 하고,

Vh = (1/3)*π*h^2*(3*r-h)
   = (1/3)*π*(r^2 - 2*r*t + t^2)(2*r + t)
   = (1/3)*π*(2*r^3 + r^2*t - 4*r^2*t - 2*r*t^2 + 2*r*t^2 + t^3)
   = (1/3)*π*(2*r^3 - 3*r^2*t + t^3)
   = (1/3)*π*(2*r^3 - 3*r^2*(r^2 - rc^2)^(1/2) + (r^2 - rc^2)*(r^2 - rc^2)^(1/2))
   = (1/3)*π*(2*r^3 - 2*r^2*(r^2 - rc^2)^(1/2) - rc^2*(r^2 - rc^2)^(1/2))
   = (1/3)*π*(2*r^3 - (2*r^2 + rc^2)*(r^2 - rc^2)^(1/2))

따라서, 구하고자 하는 부피는

V = Vs + Vc - Vh
  = (1/3)*π*(4*r^3 + hc*r^2 - 2*r^3 + (2*r^2 + rc^2)*(r^2 - rc^2)^(1/2))
  = (1/3)*π*(2*r^3 + hc*r^2 + (2*r^2 + rc^2)*(r^2 - rc^2)^(1/2))

이 된다.

*** 참고문헌[References] ***

V = (1/3)*π*(2*r^3 + hc*r^2 + (2*r^2 + rc^2)*(r^2 - rc^2)^(1/2))
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변수명 Variable 변수값 Value 변 수 설 명 Description of the variable




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