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곡선의 길이(length of a curve), y = ln(x)

작성자 Uploader : chocopi 작성일 Upload Date: 2021-10-05변경일 Update Date: 2021-10-05조회수 View : 361

Type1 Type2

y = ln(x) 의 구간 [a, b] 에서의 곡선의 길이를 구한다.

dy/dx = 1/x

L = ∫(1+(dy/dx)^2)^(1/2) dx
= ∫(1+(1/x)^2)^(1/2) dx
= ∫((x^2+1)/(x^2))^(1/2) dx
= ∫((x^2+1)^(1/2)/x) dx

x^2+1 = t^2 이라 하면, 2x*dx = 2t*dt 이므로, dx = (t/x)dt

= ∫(t/x)(t/x) dt
= ∫(t^2/x^2) dt
= ∫(t^2/(t^2-1)) dt
= ∫(1 + 1/(t^2-1)) dt
= ∫(1 + 1/((t+1)(t-1))) dt
= ∫(1 - 1/(2(t+1)) + 1/(2(t-1))) dt
= [t - (1/2)ln(t+1) + (1/2)ln(t-1)]

x=a 에서, t=(a^2+1)^(1/2)
x=b 에서, t=(b^2+1)^(1/2)

따라서,

L = ((b^2+1)^(1/2) - (1/2)ln((b^2+1)^(1/2)+1) + (1/2)ln((b^2+1)^(1/2)-1))
- ((a^2+1)^(1/2) - (1/2)ln((a^2+1)^(1/2)+1) + (1/2)ln((a^2+1)^(1/2)-1))

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