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기울어진(경사진) 원형 트랙(circular track)에서의 최대(max), 최소(min) 속력(velocity)

작성자 Uploader : 혼술혼밥 작성일 Upload Date: 2022-03-30변경일 Update Date: 2022-04-20조회수 View : 602

Type1 Type2
물체가 반지름이 R (m) 이고, 수평과 이루는 각이 θ (˚) 원형 트랙을 일정한 속력 v (m/s) 로 회전하고 있을 때, 물체가 바깥 방향으로 미끄러지지 않을 최대 속력 vmax 와 안쪽으로 미끄러지지 않을 최소 속력 vmin (m/s) 를 구한다.
물체와 트랙 사이의 마찰계수는 μ 이다. 

g : 중력가속도 (m/s^2)
m : 물체의 질량 (kg) 		No Image
□ input data


1. 중력(gravity force = mg)에 의한 힘

- 경사면을 따라 내려가는 힘 : Fgs = m*g*sin(θ)


- 경사면을 누르는 힘 : Fgr = m*g*cos(θ)


2. 원심력(Fc)에 의한 힘

- 경사면을 따라 올라가는 힘 : Fcs = (m*v^2/R)*cos(θ)


- 경사면을 누르는 힘 : Fcr = (m*v^2/R)*sin(θ)


3. 사면을 따라 트랙 바깥쪽으로 작용하는 힘

Fso = Fcs - Fgs = m*((v^2/R)*cos(θ)-g*sin(θ))


4. 사면을 따라 트랙 안쪽으로 작용하는 힘

Fsi = Fgs - Fcs = m*(g*sin(θ)-(v^2/R)*cos(θ))


5. 마찰력

Ff = μ*Fgr+μ*Fcr = μ*(m*g*cos(θ)+(m*v^2/R)*sin(θ))


6. 최대 속력은, Fso ≤ Ff 이어야 하므로, 다음과 같고

m*((v^2/R)*cos(θ)-g*sin(θ)) = μ*m*(g*cos(θ)+(v^2/R)*sin(θ))

을 정리하면,

((v^2/R)*cos(θ)-g*sin(θ)) = μ*(g*cos(θ)+(v^2/R)*sin(θ))

(cos(θ)-μ*sin(θ))*(v^2/R) = g*(μ*cos(θ)+sin(θ))

v = sqr(R*g*(μ*cos(θ)+sin(θ)) / (cos(θ)-μ*sin(θ)))


7. 최소 속력은 Fsi ≤ Ff 이어야 하므로,

m*(g*sin(θ)-(v^2/R)*cos(θ)) = μ*m*((g*cos(θ)+(v^2/R)*sin(θ)))

(μ*sin(θ)+cos(θ))*(v^2/R) = g*(sin(θ)-μ*cos(θ))

v = sqr(R*g*(sin(θ)-μ*cos(θ))/(μ*sin(θ)+cos(θ)))


이 된다.

tan(θ) 가 마찰계수 μ 보다 작으면 움직이지 않아도 안쪽으로 미끄러지지 않는다.
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