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두 원의 공통외접선의 방정식(common external tangent)

작성자 Uploader : today 작성일 Upload Date: 2022-05-29변경일 Update Date: 2022-05-29조회수 View : 599

Type1 Type2

중심의 좌표와 반지름이 각각 (x1, y1), r1, (x2, y2), r2 인 두 원의 공통외접선의 방정식을 구한다.

외접선의 방정식을 y = ax + k 라 하고,

두 원의 중심과 외접선과의 거리를 이용하여 동일한 k 값이 되는 기울기 a 를 구한다.

r1 = |a*x1-y1+k|/(a^2+1)^(1/2)
r2 = |a*x2-y2+k|/(a^2+1)^(1/2)

1) 0 ≤ a*x1-y1+k 일 때, 0 ≤ a*x2-y2+k 이므로,

k = -a*x1+y1+r1(a^2+1)^(1/2) = -a*x2+y2+r2(a^2+1)^(1/2)

(r1-r2)(a^2+1)^(1/2) = (x1-x2)a+(y2-y1)

양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같다.

(r1-r2)^2*(a^2+1) = (x1-x2)^2a^2+(y2-y1)^2+2(x1-x2)(y2-y1)a

((r1-r2)^2-(x1-x2)^2)a^2 + 2(x1-x2)(y1-y2)a+(r1-r2)^2-(y2-y1)^2 = 0

1) a*x1-y1+k ≤ 0 일 때, a*x2-y2+k ≤ 0 이므로,

-a*x1+y1-r1(a^2+1)^(1/2) = -a*x2+y2-r2(a^2+1)^(1/2)

(r2-r1)(a^2+1)^(1/2) = (x1-x2)a+(y2-y1)

양 변을 제곱하여 정리하면, (r1-r2)^2 = (r2-r1)^2 이므로, 1) 의 경우와 같다.

A = (r1-r2)^2-(x1-x2)^2
B = 2(x1-x2)(y1-y2)
C = (r1-r2)^2-(y2-y1)^2

라 하고, 근의 공식을 이용하여 기울기 a1, a2 와 k1, k2 를 각각 구한다.

a1 = (-B+sqr(B^2-4AC))/(2A)
k1 = -a1*x1+y1+r1(a1^2+1)^(1/2)

a2 = (-B-sqr(B^2-4AC))/(2A)
k2 = -a2*x1+y1-r1(a2^2+1)^(1/2)

□ input data

□ 이차식의 계수 A, B, C

A = 0 : 외접선이 수직이 된다.

▶ 공통외접선의 a1, k1, a2, k2

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